Rovnice - přehled částí

Rovnice 1. část - typ: x + 3 = 10

Rovnice 2. část - typ: x - 5 = 12

Rovnice 3. část - typ: 5.x = 30

Rovnice 4. část - typ: 4x +10 = 2x + 5

Rovnice 5. část - typ: 3x + 7 - 5x - 2 = 6x + 9 - 5x + 8

Rovnice 6. část - typ: 3.(5x +10) = -15.(2 -x)

 Rovnice 1. část

Pokud jsou rovnice jednoduché, můžeme odhalit neznámou již na základě zkušeností, které máme z počítání jednoduchých příkladů.

Umíme spočítat, že:

5 + 6 = 11

Ze stejného příkladu můžeme vytvořit zadání ROVNICE

x + 6 = 11

U těchto příkladů si troufám tvrdit, že každý i bez znalosti pravidel řešení rovnic hned ví, že neznámá je:

x = 5

PRVNÍ PRAVIDLO pro řešení rovnic:

Jestliže se znovu podíváme na zadání rovnice, a uvědomíme si, jak jsme neznámou vypočítali, můžeme zavést první pravidlo řešení rovnic.

Pokud kladné číslo převádíme na druhou stranu rovnice, změní se na číslo záporné (píšeme místo znaménka +, znaménko -)

x + 6 = 11
            x = 11 – 6
     x = 5

Pojďme si popsat postup:

  • Na pravé straně je číslo 11 se kterým zatím nic dělat nebudeme.
  • Na levé straně je u x číslo +6.
  • Znaménko = (rovná se) si můžeme představit jako zeď.
  • Nyní číslo +6 (plus šest) pomyslně přehodíme přes zeď (přes unaménko = na druhou stranu rovnice).
  • V ten okamžik se změní číslo +6 na číslo opačné -6 (mínus šest).
  • Tím vlevo vznikne příklad: 11 – 6, který umíme vypočítat (=5)
  • Výsledek: x = 5

Ukázkový příklad řešení rovnice 1

Zadání a řešení:                 Popis kroků:

x + 30 = 50                        číslo + 30 převedeme na druhou stranu rovnice tzn. „přehodíme přes zeď“ jako -30
        x = 50 – 30                 vypočítáme kolik je 50 - 30
        x = 20                         kořenem rovnice je číslo 20

Zkouška:

L: x + 30 = 20 + 30 = 50                 pro jistotu si můžeme opsat zadání rovnice, dosadíme místo písmene – x – výsledek: 20 
P: = 50                                            opíšeme pravou stranu z rovnice
L = P    (opravdu: 50 = 50)              pravá strana se rovná levé, řešení rovnice je správné.

Ukázkový příklad řešení rovnice 2

První pravidlo se nemění, i když rovnice mají na pravé straně nulu.

Zadání a řešení:                      Popis kroků:

x + 45 = 0                               číslo +45 převedeme na druhou stranu rovnice jako -45
        x = 0 – 45                        vypočítáme příklad na pravé straně rovnice
        x = - 45                           pozor jen, že kořenem rovnice je záporné číslo!                                                               

Zkouška:

L: x + 45 = -45 + 45 = 0          můžeme si opsat z rovnice levou stranu, dosadíme za písmeno x číslo z výsledku a vypočítáme
P: = 0
L = P   (opravdu 0 = 0)            pravá strana se rovná levé – řešení rovnice je správné.

Vzorové příklady 

 Př.:1                                                       Zk.:                                             
x + 10 = 25                                             L: x + 10 = 15 + 10 = 25                                      
        x = 25 – 10                                     P: =25                                             
        x = 15                                             L = P                                                       

 Př.: 2                                                     Zk.:
x + 13 = 40                                            L: x + 13 = 27 + 13 = 40
        x = 40 – 13                                    P: =40 
        x = 27                                            L = P

Př.: 3                                                     Zk.:
x + 40 = 100                                         L: x + 40 = 60 + 40 = 100
        x = 100 – 40                                 P: = 100
        x = 60                                           L = P

 Př.4:                                                     Zk.: 
x + 15 = 50                                           L: x + 15 = 35 + 15 = 50
        x = 50 – 15                                   P: = 50
        x = 35                                           L =P

                                                                                             
 Př.5:                                                    Zk.:
x + 6 = 0                                              L: x + 6 = -6 + 6 = 0 
      x = 0 – 6                                        P: = 0      
      x = -6                                             L = P        

Př.:6                                                     Zk.:
x + 80 = 30                                           L: x + 80 = -50 + 80 =30
        x = 30 – 80                                   P: =30 
        x = -50                                         L = P 
                                                                                         
Př.:7                                                     Zk.:
x + 5 = -10                                           L: x + 5 = -15 + 5 = -10
      x = -10 – 5                                     P: = -10
      x = - 15                                          L = P
                                                                                                                             
Př.8:                                                     Zk.:                                                              
x + 1,5 = 2,3                                        L: x + 1,5 = 0,8 + 1,5 = 2,3                                               
         x = 2,3 – 1,5                                P: = 2,3                                                  
         x = 0,8                                         L = P                                                             

Př.9:                                                     Zk.: 
x + 0,7 = 0                                           L: x + 0,7 = -0,7 + 0,7 = 0
         x = 0 – 0,7                                  P: = 0 
        x  = -0,7                                      L = P

 Př.10:                                                 Zk.: 
x + 7,9 = 5,9                                       L: x + 7,9 = -2 + 7,9 = 5,9 
         x = 5,9 – 7,9                              P: = 5,9
         x = -2                                         L = P

Př.11:                                                 Zk.: 
x + 1,1 = - 2,2                                    L: x + 1,1 = -3,3 + 1,1 = -2,2
         x = -2,2 – 1,1                            P: = -2,2
         x = - 3,3                                    L = P 

Další rovnice tohoto typu k procvičování naleznete: ZDE Část 1                          

 

Rovnice 2. část

Pokud jsou rovnice jednoduché, můžeme odhalit neznámou již na základě zkušeností, které máme z počítání jednoduchých příkladů.

Umíme třeba spočítat, že:

10 - 6 = 4

 Ze stejného příkladu můžeme vytvořit zadání ROVNICE:

x - 6 = 4

 U těchto příkladů si troufám tvrdit, že každý i bez znalosti pravidel řešení rovnic ví, že neznámá je:

x = 10

DRUHÉ PRAVIDLO pro řešení rovnic (odčítání)

Jestliže se znovu podíváme na zadání rovnice, a uvědomíme si, jak jsme neznámou vypočítali, a můžeme zavést druhé pravidlo řešení rovnic
Pokud převádíme záporné číslo na druhou stranu rovnice, změní se znaménko na kladné.

x - 6 = 4
            x = 4 + 6
         x = 10

Pojďme si to popsat:

  • Na pravé straně je číslo 4 se kterým zatím nic dělat nebudeme.
  • Na levé straně je u x číslo -6.
  • Znaménko = (rovná se) si můžeme představit jako zeď.
  • Nyní číslo -6 (mínus šest) pomyslně přehodíme přes zeď (přes = na druhou stranu rovnice).
  • V ten okamžik se změní číslo -6 (mínus šest) na číslo opačné +6 (plus šest).
  • Tím vlevo vznikne příklad: 4 + 6, který umíme vypočítat (=10)
  • Výsledek: x = 10 

 Ukázkový příklad řešení rovnice 1 

Zadání a řešení:                 Popis kroků:

x - 30 = 50                         číslo - 30 převedeme ho na druhou stranu rovnice  „přehodíme přes zeď“ jako +30
        x = 50 + 30                vypočítáme kolik je 50 + 30
        x = 80                        kořen rovnice je číslo 80

Zkouška:

L: x - 30 = 80 - 30 = 50     můžeme opsat ze zadání levou stranu rovnice a za neznámou dosadíme kořen: 80, pak vypočítáme
P: = 50                              opíšeme pravou stranu rovnice
L = P                                 pravá strana se rovná levé, řešení rovnice je správné.

Ukázkový příklad řešení rovnice 2

Druhé pravidlo se nemění i když rovnice mají na pravé straně nulu

Zadání:
x - 45 = 0                         číslo - 45 převedeme ho na druhou stranu rovnice jako +45
       x = 0 + 45                 vypočítáme pravou stranu rovnice
       x = 45                       pozor jen, že kořen rovnice je kladné číslo!                                                                 
Zkouška:
L: x - 45 = 45 - 45 = 0     můžeme opsat ze zadání levou stranu rovnice a zs neznámou dosadíme: 45, pak vypočítáme
P: = 0                              opíšeme pravou stranu rovnice
L = P                               pravá strana se rovná levé, řešení rovnice je správné.

 Vzorové příklady

 Př.: 1                                                                                             Př.: 2                                                  
x + 10 = 25                                                                                     x + 13 = 40                                          
        x = 25 – 10                                                                                      x = 40 – 13                                          
        x = 15                                                                                              x = 27                                                 
Zk.:                                                                                                 Zk.:                                                     
L: x + 10 = 15 + 10 = 25                                                                 L: x + 13 = 27 + 13 = 40                      
P: =25                                                                                             P: = 40                                                  
L = P                                                                                               L = P                                                    


 Př.: 3                                                                                             Př.: 4      
x + 40 = 100                                                                                   x - 15 = 50 
 x = 100 – 40                                                                                          x = 50 + 15 
  x = 60                                                                                                   x = 65
Zk.:                                                                                                 Zk.: 
L: x + 40 = 60 + 40 = 100                                                               L: x - 15 = 65 - 15 = 50 
P: = 100                                                                                          P: = 50
L = P                                                                                               L =P

Př.: 5                                                                                              Př.: 6                                      
x - 6 = 0                                                                                         x - 80 = 30                            
      x = 0 + 6                                                                                          x = 30 + 80                           
      x = 6                                                                                                x = 110                                  
Zk.:                                                                                                Zk.:                                           
L: x - 6 = 6 - 6 = 0                                                                         L: x - 80 = 110 - 80 = 30          
P: = 0                                                                                            P:= 30                                      
L = P                                                                                             L = P                                        

Př.: 7                                                                                             Př.: 8   
 
x - 5 = -10                                                                                    x - 1,5 = 2,3
      x = -10 + 5                                                                                       x = 2,3 + 1,5 
      x = - 5                                                                                              x = 3,8 
Zk.:                                                                                                Zk.:  
L: x - 5 =-5 - 5 = -10                                                                     L: x - 1,5 = 3,8 - 1,5 = 2,3
P: = -10                                                                                         P: = 2,3 
L = P                                                                                              L = P 

Př.: 9                                                                                              Př.: 10                                        
x - 0,7 = 0                                                                                     x - 7,9 = 5,9                            
        x = 0 + 0,7                                                                                     x = 5,9 + 7,9                           
        x = 0,7                                                                                           x = 13,8                                   
Zk.:                                                                                                Zk.:                                          
L: x-0,7 = 0,7-0,7 = 0                                                                    L: x - 7,9 = 13,8 - 7,9 = 5,9     
P: = 0                                                                                            P: = 5,9                                    
L = P                                                                                             L = P                                        

Př.: 11
x - 1,3 = - 2,2
        x = -2,2 + 1,3
        x = - 0,9 
Zk.:
L: x - 1,3 = -0,9 - 1,3 = -2,2
P: = - 2,2
L = P

Další příklady tohoto typu k procvičení nalezneze: ZDE Část 2

Rovnice – 3. část

Pokud jsou rovnice jednoduché, můžeme odhalit neznámou již na základě zkušeností, které máme z počítání jednoduchých příkladů.

Například:

3 . 6 = 18

Jestliže z tohoto příkladu vytvoříme rovnici tak, že zavedeme neznámou – x – bude rovnice vypadat takto:

3 . x = 18

 Lze snadno i bez znalosti řešení rovnice tohoto typu vypočítat, že:

x = 6

 

 TŘETÍ PRAVIDLO pro řešení rovnic

 Výpočet takovéto rovnice je podle pravidla:

Pokud při násobení převádíme číslo na druhou stranu rovnice, znamená to, že tím samým číslem budeme dělit

Ukázkový příklad

3 . x = 18
          x = 18 : 3
    x = 6

Pojďme si to popsat:

  • Na pravé straně je číslo 18 se kterým zatím nic dělat nebudeme.
  • Na levé straně je u x číslo 3, kterým neznámou násobíme.
  • Znaménko = (rovná se) si můžeme představit jako zeď.
  • Nyní číslo 3 pomyslně přehodíme přes zeď (přes = na druhou stranu rovnice).
  • V ten okamžik se číslem 3 bude dělit.
  • Tím vpravo vznikne příklad: 18:3, což umíme vypočítat (=6)
  • Výsledek: x = 6

Na co si dát pozor!

  1. Zápis násobení s neznámou se liší oproti počítání s čísly

Počítání s čísly:                 3 . 5                                 znaménko krát, psané jako tečka, se musí psát

Počítání s písmeny:          3 . x     nebo      3x           je stejný zápis - tedy: tečka se psát může, ale nemusí

 

  1. Velmi často se chybuje ve znaménkách – tedy připomínám následující pravidla:
+ : + = +
+ : - = -
- : + = -
- : - = +

 +  ............. kladné číslo                - ............... záporné číslo                   : .................... děleno  

Vzorové příklady

Velkou pozornost věnujte záporným číslům, a tedy s tím souvisejícím znaménkům!!!

Př.: 1                                                                                   Zk.:                         
12x = 60                                                                             L: 12x = 12 . 5 = 60
    x = 60 : 12                                                                      P: = 60 
    x = 5                                                                               L = P                         

Př.: 2                                                                                   Zk.:  
 -90x = 180                                                                         L: -90x = -90 . (-2) =180                                   
       x = 180 : (-90)                                                              P: = 180 
       x = -2                                                                           L = P  

Př.: 3                                                                                   Zk.: 
-25x = -100                                                                         L:-25x =-25 . 4 =-100
     x = -100 : (-25)                                                               P: = -100 
     x = 4                                                                               L = P

 Př.: 4                                                                                  Zk.:
13x = - 39                                                                           L:13x =13 . (-3) = -39
    x = - 39 : 13                                                                    P: = -39 
    x = -3                                                                              L = P

Př.: 5                                                                                 Zk.: 
5x = 0                                                                                L: 5x =5 .0 =0
  x = 0 : 5                                                                           P: = 0
  x = 0                                                                                L = P

Př.: 6                                                                                  Zk.:                                                    
5,2 . x = 20,8                                                                      L: 5,2x = 5,2 . 4 = 20,8                                  
        x = 20,8 : 5,2                                                              P: = 20,8 
        x = 4                                                                           L = P 

Př.: 7                                                                                   Zk.: 
-87 . x = 1044                                                                     L: - 87x = -87 . (-12) =1044 
        x = 1044 : (-87)                                                           P: =1044  
        x = -12                                                                        L = P 

Př.: 8                                                                                  Zk.:
-4,5x = - 45                                                                        L: -4,5x =-4,5 . 10 = -45                                     
       x = -45 : (-4,5)                                                             P: =-45 
       x = 10                                                                          L = P 

Př.: 9                                                                                  Zk.:
 0,1 . x = - 0,02                                                                  L: 0,1x = 0,1 . (-0,2) =-0,02
         x = - 0,02 : 0,1                                                          P: -0,02
         x = - 0,2                                                                    L = P

Další rovnice tohoto typu k procvičení naleznete: ZDE Část 3

Rovnice 4. část

Rovnice mohou mít neznámou (x) na obou stranách rovnítka (=):

 3x + 10 = 2x + 15

Úkolem je zjistit, jaké konkrétní číslo se pod písmenem (x) skrývá. Dosazovat postupně různé číslice není u složitějších příkladů možné. 

Podle počtu neznámých může vzniknout dvojí způsob řešení:

Ukázkový příklad 1

Postup řešení je pouze podle pravidel sčítání a odčítání (1. a 2. část minikurzu)

3x + 10 = 2x + 15
3x – 2x = 15 – 10
x = 5

  Postup řešení:

  • převedeme na levou stranu všechny členy obsahující neznámou (zde: 2x jako -2x)
  • převedeme všechna čísla (bez neznámé) na pravou stranu (zde: +10 jako -10)
  • pravou i levou stranu vypočítáme (upravíme): 3x - 2x což je 1x
  • v tomto případě získáme rovnou výsledek: x = 5

Ukázkový příklad 2

Postup řešení je podle pravidel sčítání, odčítání a pravidla násobení (1. až 3. část minikurzu)

5x + 12 = 3x + 40
5x – 3x = 40 – 12
2x = 28
       x = 28 : 2
  x = 14

Postup řešení:

Nejprve, podle pravidel sčítání a odčítání (1. a 2. část minikurzu)

  • převedeme na levou stranu všechny členy obsahující neznámou (zde: 3x jako -3x)
  • převedeme všechna čísla (bez neznámé) na pravou stranu (zde: +12 jako -12)
  • pravou i levou stranu vypočítáme (upravíme): 5x - 3x což je 2x

Pokračujeme v řešení tentokrát podle pravidla násobení (3. část minikurzu)

  • číslem, které je u neznámé – x (zde 2) – vydělíme číslo na druhé straně rovnice, tedy provedeme výpočet 28:2
  • výsledkem je: x = 14

Vzorový příklad se zkouškou

Zadání:                                                          Zkouška:
7x + 12 = 5x + 26                                          L: 7x + 12 = 7 . 7 + 12 = 49 + 12 = 61
 7x - 5x = 26 - 12                                          P: 5x + 26 = 5 . 7 + 26 = 35 + 26 = 61
        2x = 14                                                  L = P
          x = 14:2                                             
          x = 7

Vzorové příklady

U těchto příkladů je potřeba dávat si pozor na znaménka zejména ve chvíli, kdy se převádí čísla z jedné strany rovnice na druhou!

 Př.: 1                                                                          Zk.:                                                                             
12x + 25 = 8x + 45                                                     L: 12x + 25 = 12 . 5 + 25 = 60 + 25 = 85                                          
12x – 8x = 45 – 25                                                      P: 8x + 45 = 8 . 5 + 45 = 40 + 45 = 85                                               
          4x = 20                                                              L = P                                                                               
            x = 20 : 4                                                                                                  
            x = 5                                                                                                         
Př.: 2                                                                            Zk.:    
   3,6x – 34 = 0,6x + 74                                                L: 3,6x - 34 = 3,6 . 36 - 34 = 129,6 - 34 = 95,6 
3,6x – 0,6x = 74 + 34                                                   P: 0,6x + 72 = 0,6 . 36 + 74 = 21,6 + 74 = 95,6
           3 . x = 108                                                         L = P
                x = 108 : 3
                x = 36 

Př.: 3                                                                              Zk.:
    -0,05x + 5,7 = - 0,15x – 0,3                                       L: -0,05x + 5,7 = -0,05 . 60 + 5,7 = 3 + 5,7 = 8,7
-0,05x + 0,15x = -0,3 – 5,7                                            P: -0,15x - 0,3 = -0,15 . 60 - 0,3 = 9 - 0,3 = 8,7
             0,1 . x = - 6                                                       L = P 
                     x = -6 : 0,1
                     x = 60

Př.: 4                                                                              Zk.:  
  -4,6x – 3,5 = -9,6x -7,55                                              L: -4,6x – 3,5 = -4,6 . (-0,81) - 3,5 = 3,726 - 3,5 = 0,226   
-4,6x + 9,6x = -7,55 + 3,5                                              P: -9,6x - 7,55 = -9,6 . ( -0,81) - 7,55 = 7,776 - 7,55 = 0,226  
               5x = - 4,05                                                       L = P                                 
                 x = -4,05 : 5             
                 x = - 0,81            
                                                                                                             

Př.: 5                                                                              Zk.:                                                    
   5 – 3x = 9 + 7x                                                            L: 5 - 3x = 5 - 3 . (-0,4) = 5 +1,2= 6,2 
-3x – 7x = 9 – 5                                                              P: 9 + 7x = 9 + 7 . (-0,4) = 9 - 2,8 = 6,2  
     - 10x = 4                                                                   L = P              
           x = 4 : (-10)                                                    
           x = - 0,4                                                         

Př.: 6                                                                              Zk.:
  4,7x – 0,6 = 10,6 – 0,3x                                               L: 4,7x - 0,6 = 4,7 . 2,24 - 0,6 = 10,528 - 0,6 = 9,928
4,7x + 0,3x = 10,6 + 0,6                                                P: 10,6 - 0,3x = 10,6 - 0,3 . 2,24 = 10,6 - 0,672 = 9,928
              5x = 11,2                                                         L = P
                x = 11,2 : 5
                x = 2,24 
 

Další příklady tohoto typu k procvičení naleznete: ZDE Část 4

Rovnice 5. část

 Rovnice mohou mít více členů na pravé i levé straně.

3x + 7 – 5x – 2 = 6x + 9 – 5x + 8

V těchto případech platí naprosto stejný postup řešení jako u předchozích druhů rovnic (minukurz 1. až 4. část). Snažíme se všechny členy obsahující neznámou převést na levou stranu rovnice a ostatní čísla na pravou stranu rovnice. Potom osamostatnit neznámou na levé straně rovnice.

 Ukázkový příklad 1

Řešení rovnice:                                                                Popis postupu řešení

    3x + 7 – 5x – 2 = 6x + 9 – 5x + 8                                  zadání
 3x – 5x – 6x + 5x = 9 + 8 – 7 + 2                                     převádíme členy - pozor na změnu znamének při převádění čísel!
                      - 3x = 12                                                     sečteme vše na levé straně a pak vše na té pravé
                          x = 12 : (-3)                                            násobení (-3) převedeme na dělení (-3)
                          x = - 4                                                     výsledek = kořen rovnice (ten dosazujeme do zkoušky)

Zkouška:
Místo písmene: x, budeme psát číslici: -4 (mínus 4). Protože výsledek byl: x = -4 
L: 3x + 7 – 5x – 2 = 3 . (-4) + 7 – 5 . (-4) – 2 = -12 + 7 + 20 – 2 = 13   (pozor na znaménka)
P: 6x + 9 – 5x + 8 = 6 . (-4) + 9 – 5 . (-4) + 8 = -24 + 9 + 20 + 8 = 13  (pozor na znaménka)
L = P   (tedy opravdu: 13 = 13)

Ukázkový příklad 2 

Řešení rovnice:                                                                                  Popis postupu řešení:

 2a – (-17) + (-4a) + 12 – 3a = 3 – 8a – (-9) + (-8) + 5a                 zadání
       2a + 17 – 4a + 12 – 3a = 3 – 8a + 9 – 8 + 5a                             odstraníme závorky, podle pravidel plusů a mínusů
        2a – 4a – 3a + 8a – 5a = 3 + 9 – 8 – 17 – 12                             převedeme členy rovnice na L a P stranu (ty s neznámou a
                                                                                                       ty bez neznámé)
                                    - 2a = - 25                                                  převedeme (-2) tak, že tímto číslem vydělíme rovnici
                                        a = -25 : (-2)                                          vydělíme (pozor na znaménka!)
                                        a = 12,5                                                   výsledek = kořen rovnice

Zk.: Do zadání levé (L) a pravé (P) strany dosadíme na místo neznámé (a) číslo 12,5. Potom vypočítáme příklad zvlášť pro levou a pravou stranu.

L: 2a – (-17) +(-4a) +12 – 3a = 2 . 12,5 – (-17) +(-4 .12,5) +12 – 3 . 12,5 = 25 + 17 – 50 + 12 – 37,5= = -33,5
P: 3 – 8a – (-9) + (-8) + 5a = 3 – 8 . 12,5 + 9 – 8 + 5 . 12,5 = 3 – 100 + 9 – 8 + 62,5 = -33,5
P = L    (Skutečně platí: -33,5 = - 33,5)

Další typy rovnic jsou v následujících částech minikurzu.

Rovnice 6.část

Pokud se v rovnicích vyskytují závorky je třeba je „odstranit“. Děje se to stejným způsobem, jako u počítání s výrazy.

Opakování odstranění závorek u výrazů

Než tedy přejdeme k rovnicím, zopakujeme: výrazy – roznásobení závorek

Hlídat si musíme především znaménka: 

a) 5 . (3x + 45) = 5 . 3x + 5 . 45 = 15x + 225                   každý člen v závorce vynásobíme číslem: +5

b) 5 . (- 3x + 45) = 5 . (-3x) + 5 . 45 = -15x + 225            pozor na ta znaménka!

c) 5 . (3x – 45) = 5 . 3x + 5 . (-45) = 15x - 225                 záporné číslo (-45) je v závorce, protože nemohou být za sebou
                                                                                         dvě znaménka (krát a mínus)
d) 5 . (- 3x – 45) = 5 .(-3x) + 5 . (-45) = -15x - 225

e) -5 . (3x + 45) = -5 . 3x - 5 . (+45) = -15x - 225            každý člen v závorce vynásobíme číslem: -5
                                                                                         (pozor na znaménka při násobení mínus pětkou)!
f) -5 . (- 3x + 45) = -5 . (-3x) - 5 . (+45) = 15x - 225         pozor na pravidla násobení kladných a záporných čísel!

g) -5 . (3x – 45) = -5 . 3x – 5 . (-45) = -15x + 225

h) -5 . (- 3x – 45) = -5 .(-3x) - 5 . (-45) = 15x + 225

Pozor na znaménka před závorkami:
i)    - (-4x + 7) = 4x - 7                                                      pokud je před závorkou pouze znaménko mínus, znaménka
                                                                                         před čísly uvnitř závorky se mění na opačná a ta se píší.
                                                                                         Neboli:   -(-4x) = 4x;       -(7) = -7
j)   + (-4x + 7) = -4x + 7                                                    pokud je před závorkou pouze znaménko plus, znaménka
                                                                                         před čísly uvnitř závorky zůstávají stejná a ta se píší.
                                                                                         Neboli:   +(-4x) = -4x;     +(+7) = +7

Rovnice se závorkami

Ukázkové příklady

  1. Jedna závorka na jedné straně rovnice

   3 . (5x + 10) = -15                              zadání
3 . 5x + 3 . 10 = -15                               závorku jsme roznásobili číslem 3
        15x + 30 = -15                               vypočítáme jednotlivá násobení
                15x = -15 – 30                        převedeme na pravou stranu číslo + 30, aby vlevo zůstal pouze člen s neznámou
                15x = - 45                               převedeme číslo 15 na druhou stranu rovnice jako dělení
                    x = -45 : 15                         vypočítáme
                    x = - 3                                 výsledek = kořen rovnice

Zk.:    

L: 3 . (5x + 10) = 3 . ( 5 . (-3) + 10) = 3 . (-15 + 10) = 3 . (-5) = - 15
P: = - 15
L = P

  1. Na každé straně rovnice jedna závorka

       7 . (5 – 2x) = 3 . (17 – 2x)                   zadání
7 . 5 + 7 . (-2x) = 3 . 17 + 3 . (-2x)            roznásobení závorek (číslem 7 a šíslem 3)
          35 – 14x = 51 – 6x                             výpočet násobení
        -14x + 6x = 51 - 35                             převedení čísel na pravou a členů s neznámou na levou stranu
                  -8x = 16                                    převedení záporného čísla -8 (mínus osm) na druhou stranu – dělením
                      x = 16 : (-8)                           provedeme výpočet příkladu
                      x = -2                                    výsledek = kořen rovnice

ZK.:
L: 7 . (5 – 2x) = 7 . (5 – 2 . (-2)) = 7 . (5 + 4) = 7 . 9 = 63
P: 3 . (17 – 2x) = 3 . (17 – 2 . (-2)) = 3 . (17 + 4) = 3 . 21 = 63
L = P   (63 = 63)

 

  1. Dvě závorky na jedné straně rovnice

         2 . (5x – 3) – 7 . (x+2) = -5                         zadání
2 . 5x + 2 . (-3) -7 . x -7 . 2 = -5                         roznásobení závorek
               10x – 6 – 7x – 14 = -5                           vypočítání násobení
                             10x – 7x = -5 + 6 + 14             převedení čísel na pravou stranu rovnice a
                                                                             členů s neznámou na levou stranu rovnice
                                       3x = 15                           převedení čísla 3 na levou stranu rovnice jako dělení
                                         x = 15 : 3                      vypočítání příkladu - dělení
                                         x = 5                            výsledek = kořen rovnice

 Zk.:
L: 2 . (5x – 3) – 7 . (x+2) = 2 . (5 . 5 – 3) – 7 . (5 + 2) = 2 . (25 – 3) – 7 . 7 = 2 . 22 – 49 = 44-49=-5
P: -5
L = P

  1. Libovolný počet závorek

Řeší se naprosto stejným způsobem jako předchozí rovnice:

  • roznásobení = odstranění všech závorek
  • vypočítání násobků
  • spočítat všechny členy s neznámou a všechna čísla na levé i pravé straně 
  • převedení – na levou stranu všechny členy s neznámou, na pravou stranu všechna čísla
  • vypočítání neznámé - vypočítat kořen rovnice
  • provézt zkoušku

     18 - 3 . (2x + 5) + 10x + 2 . (8 - x) = 20x + 4 . (3x + 4) - (10x - 1) + 12
18 - 3 . 2x -3 . 5 + 10x + 2 . 8 + 2 . (-x) = 20x + 4 . 3x + 4 . 4 - 10x + 1 + 12
     18 - 6x - 15 + 10x + 16 - 2x = 20x + 12x + 16 - 10x + 13
          2x + 19 = 22x + 29
      2x - 22x = 29 - 19
   - 20x = 20
                   x = 20 : (-20)
         x = - 1

Zk.: provedeme dosazením kořene rovnice do zadání, zvlášť pro pravpou a zvlášť pro levou stranu rovnice
L: 18 - 3. (2x+5) + 10x + 2. (8 - x) = 18 - 3 . [2 . (-1) + 5] + 10 . (-1) + 2 . [8 - (-1)] =
= 18 - 3. (-2 + 5) - 10 + 2 . (8 + 1) = 18 - 3.3 - 10 + 2 .9 = 18 - 9 - 10 + 18 = 18 - 19 + 18 = 17

P: 20x + 4.(3x + 4) - (10x - 1) + 12 = 20 . (-1) + 4.[3.(-1) + 4)] - [10.(-1) - 1)] + 12 =
=-20 + 4.(-3 +4) - (-10 - 1) + 12 = -20 +4.1 -(-11) + 12 = -20 + 4 + 11 + 12 = 17
P = L