ROVNICE

 

Rovnice si můžeme představit jako váhu, která má pravou a levou stranu. Abychom docílili rovnováhy, musí se pravá strana rovnat straně levé.

Levá strana (L) = Pravá strana (P)

L = P

V matematických rovnicích je tedy úkolem zjistit neznámé číslo, které uvede do rovnováhy pravou a levou stranu rovnice.
Tato neznámá čísla se v rovnicích značí písmeny, nejčastěji se používají: x; y; z. Mohou se však použít jakákoli písmena: a; b; c

Zvolenému písmenu v rovnici říkáme – NEZNÁMÁ (říkáme: Vypočítej neznámou z rovnice.). Jakmile zjistíme hodnotu neznámé (tedy, které číslo se pod písmenem skrývá), pak je tento výsledek v matematice označen slovním spojením: KOŘEN ROVNICE (říkáme: Kořenem rovnice je x = 5).

Rovnice se tedy skládají:
 - z neznámých (označují se písmeny) i spolu s čisly:  x; 3y; - 0,5y...
 - z čísel: kladná, záporná, celá, desetinná, zlomky...
 - a pochopitelně ze znamének (+, -, ., :, =), závorek, mocnin, odmocnin...

Ve chvíli, kdy "poskládáte" rovnici z neznámých a čísel, používá se pro ně označení: ČLENY ROVNICE.
Např.: 3x + 5 = 2x - 7 je rovnice, která má čtyři členy rovnice, které odděluje znaménko plus a mínus (a pochopitelně i =). Všiměte si, že znaménko násobení se nepočítá jako oddělení členů.

Výhodou řešení rovnic je, že se provádí tzv. ZKOUŠKA. Ta ověřuje, zda se opravdu pravá a levá strana rovná. Zjistíme to tak, že kořen rovnice (tedy vypočítané číslo) dosadíme do zadání a tím ověříme, že po vypočítání platí: L = P.

 

Postupy řešení základních (jednoduchých) rovnic naleznete ZDE 

Postup řešení rovnic se zlomky naleznete ZDE

Tři možná řešení lineárních rovnic

1. Rovnice má JEDNO řešení

Zatím jsme probrali rovnice (minisérie část 1. až 6.), kde se neznámá (tzv. kořen rovnice) rovnala konkrétnímu číslu (kladnému, zápornému, nebo nule). 

Vzorové příklady 

A. Kořen rovnice - kladné číslo

3x = 33,3                                                                    Zk:                      
  x = 33,3 : 3                                                               L: 3x = 3 . 11,1 = 33,3                         
  x = 11,1                                                                    P: = 33,3                                                       
                                                                                   L = P                                        
                                                                                                         
B. Kořen rovnice - záporné číslo

-15x - 27 = - 5x + 13                                                   Zk:
-15x + 5x = 13 + 27                                                     L: -15x - 27 = -15 . (-4) - 27 = 60-27=33 
       - 10x = 40                                                             P: - 5x + 13 = -5 .(-4) + 13 = 20 + 13 = 33
             x = 40 : (-10)                                                   L = P
             x = - 4  

C. Kořen rovnice - nula
5x - 3 . (x -7) =  21                                                        Zk.: 
 5x - 3x + 21 = 21                                                         L: 5x - 3 . (x -7) = 5 . 0 -3 . (0-7) = 0 - 3 . (-7) = 21
                 2x = 21 - 21                                                 P: = 21
                 2x = 0                                                           L = P
                   x = 0 : 2
                   x = 0

2. Rovnice NEMÁ řešení

Znamená to, že neexistuje žádné číslo, které by po dosazení zajistilo, že se pravá a levá strana budou rovnat (P = L tedy neplatí)

Ukázkový příklad 

3x - 24 = 3x + 16                               převedeme člen s neznámou na levou stranu a čísla na pravou stranu
3x – 3x = 16 + 24                               vypočítáme strany
        0x = 40                                       cokoli vynásobené nulou je vždy nula tedy: 0 . x = 0
          0 = 40                                       tato rovnost neplatí!!! A proto:

Rovnice NEMÁ ŘEŠENÍ!

Vždy platí: Pokud se pravá a levá strana rovnice na závěr výpočtu nebude rovnat – napíšeme, že: ROVNICE NEMÁ ŘEŠENÍ

POZN.: Tím výpočet končí a nedělá se ani žádná zkouška. 

Vzorový příklad 1

  4x – 2 + 3x = 7x + 6            
4x + 3x – 7x = 6 + 2
                0x = 8
                  0 = 8              rovnice nemá řešení

Vzorový příklad 2

- 6x + 12 – 3x = 3. (-3x + 12)
 -6x + 12 – 3x = -9x + 36
 -6x – 3x + 9x = 36 – 12
                  0x = 24                                   
                    0 = 24           rovnice nemá řešení

 

3. Rovnice má NEKONEČNĚ MNOHO řešení

Znamená to, že do rovnice můžeme dosadit libovolné číslo, a vždy bude platit, že se pravá a levá strana budou rovnat (P = L tedy platí)

Ukázkový příklad 

  5x – 9 = 5x – 9                        převedeme člen s neznámou na levou stranu a čísla na pravou stranu
5x – 5x = -9 + 9                        vypočítáme strany
        0x = 0                               cokoli vynásobené nulou je vždy nula tedy: 0 . x = 0
          0 = 0                               tato rovnost platí!!! A proto:

Rovnice má NEKONEČNĚ MNOHO ŘEŠENÍ.

Při provádění zkoušky si můžeme zvolit jaké chceme číslo. Velmi výhodné je do zkoušky za neznámou dosadit x = 0

Zk.:                                                                                  Zkouška by pochopitelně vyšla třeba i pro x = 6
L: 5x – 9 = 5 . 0 – 9 = 0 – 9 = -9                                      L: 5x - 9 = 5 . 6 - 9 = 30 - 9 = 21
P: 5x – 9 = 5 . 0 – 9 = 0 – 9 = -9                                      P: 5x - 9 = 5 . 6 - 9 = 30 - 9 = 21
L =P                                                                                 L = P

Vzorový příklad 

5x – 7x – 21 + 2x = - 12 – 9
        5x – 7x + 2x = -12 – 9 + 21
                        0x = 0
                          0 = 0                nekonečně mnoho řešení

Zkouška: za neznámou si volím: x = 0
L: 5x – 7x – 21 + 2x = 5 . 0 – 7 . 0 – 21 + 2 . 0 = 0 – 0 – 21 + 0 = - 21
P: -12-9 = - 21
L = P